Non metterei mai un barboncino in giardino (o quasi, comunque), non ha sottopelo e soffre il freddo... questa non è proprio la stagione ideale!
Portalo sempre fuori durante il giorno e se è abituato a usare i tappetini igienici, mettiglieli solo di notte.
Imparerà a trattenersi tutta la notte col tempo, ma il modo migliore intanto è proprio portarlo fuori a orari fissi, in modo che impari a trattenersi aspettando quegli orari.
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Senti, proprio perché dici di aver avuto sempre cani di taglia più grande evidentemente non sai come comportarti con un cane così piccolo. E' da compagnia e "da appartamento", nel senso che non è fatto per vivere all'esterno, in più soffre molto nello stare lontano dalla famiglia, tanto più che così piccolo in giardino starebbe proprio malissimo.
Questo cane, mettiti il cuore in pace, va tenuto in casa. Se non vuoi che sporchi troppo in giro ti dice benissimo madame_is_back, prendi un recinto e lascialo lì la notte, ma posiziona il recinto nella tua stanza (sarebbe un trauma per lui essere spostato).
Un cane come questo, tenuto in casa, spazzolato, tenuto pulito, non è assolutamente poco igienico, tanto più che non perde pelo... e la tua bimba crescerà con molti più anticorpi a contatto con un animale... non credere che perché è un cane le possa passare chissà che! La tua bimba starà benissimo, figurati.
Leggi qui se non mi credi: http://www.tipresentoilcane.com/2011/08/24/non-toccarlo-che-ti-ammali-come-ti-erudisco-il-pupo-2/